Utforsk / Strategi og sjanse
Monty Hall-problemet. Bør du bytte dør?
Tre dører, én bil og to geiter. Svaret virker opplagt, men det har lurt både folk flest og noen av verdens beste matematikere.
Du er med i et gameshow, hvor du kan vinne en bil. Vinner du kan du endelig dra på denne reisen du og dine alltid har pratet om. Programlederen har en fortid som MI5-agent, men det er helt irrelevant i denne sammenheng, og noe bare vi to vet.
Foran deg ser du tre dører. Bak to av dørene er det en geit, bak en av dørene er bilen.
Programlederen ber deg velge en dør. Du velger en dør, men åpner den ikke. Programlederen fjerner nå en av de to andre dørene, hvor det var en geit. Så sier hen: "Vil du endre valget ditt til den siste lukkede døren, eller bli ved ditt valg?".
Ofte vil en tenke at sannsynligheten for riktig dør, når det kun er to igjen, er 1/2. Det stemmer hvis du blir, men hvis du bytter dør øker den til 2/3!
Prøv selv
Spill noen runder. Prøv både å bli og å bytte, og se hvordan det går.
Mønsteret er kanskje ikke så tydelig etter å ha spilt "en håndfull" ganger. Tilfeldigheter kan klumpe seg, men jo lengre vi holder på, jo nærmere 1/3 eller 2/3 kommer vi.
1000 runder
La oss la datamaskinen spille spillet 1 000 ganger isteden. I simuleringen bytter den mellom å bli og å bytte dør hele tiden. Under ser du en graf for andelen ganger du vinner bilen med de to ulike strategiene (bli og bytt).
I starten er det mye hopp og sprett, men etter de store talls lov nærmer de seg den statistiske sannsynligheten, rundt 2/3 for å bytte og 1/3 for å bli.
Hvorfor bytte vinner
Grunnen til at sannsynligheten endrer seg underveis er at programlederen ikke åpner en tilfeldig dør. Din dør og bilens dør åpnes nemlig aldri.
Ditt første valg er én av tre, altså 1/3 sannsynlighet for å vinne. Dette endrer seg ikke når en annen dør åpnes. Når programlederen åpner en annen dør står du i en av følgende situasjoner:
| 1. valg | Sannsynlighet for 1. valg | Programleder fjerner | Hva du vinner på |
|---|---|---|---|
| Bil | (1/3) | Geit 1 eller 2 | Å bli |
| Geit 1 | (1/3) | Geit 2 | Å bytte |
| Geit 2 | (1/3) | Geit 1 | Å bytte |
Altså, strategien "å bytte" gir deg 1/3 + 1/3 = 2/3 sannsynlighet for å vinne.
Tenk deg 100 dører. Du velger én. Programlederen åpner 98 av de andre, og alle har geiter. Er sannsynligheten høyest for at bilen står bak den døra du først valgte, eller den ene andre døren som programlederen lot være igjen? Dette er det samme spillet som det vi har spilt, men litt tydeligere.
Det lurte også ekspertene
I 1975 sendte statistikeren Steve Selvin problemet i et leserbrev til American Statistician. I 1990 svarte Marilyn vos Savant at svaret er bytt, i bladet Parade. Hun fikk tusenvis av brev som mente hun tok feil, mange fra folk med doktorgrad. En som ikke trodde på svaret, var Paul Erdős, en av de mest produktive matematikerne i historien. Ifølge biografien hans ble han ikke overbevist før han så en datasimulering, akkurat som den over.
Men pass på forutsetningene
Svaret 2/3 forutsetter at programlederen alltid åpner en geitedør og alltid lar deg bytte. Hvis du bare får bytte når du har valgt bilen, er det lurest å bli. Da forteller tilbudet deg nemlig at du allerede har vunnet.
Problemet kalles Monty Hall-problemet fordi problemet dukket opp i det amerikanske TV-programmet Let's Make a Deal, hvor Monty Hall var programleder. I et intervju med New York Times i 1991 sa han at han bestemte fra gang til gang om deltakeren skulle få bytte. Derfor stemte ikke alltid dette matematiske problemet med problemet i Let's make a deal.
Lag din egen simulering i Excel eller lignende
- Vi antar at bilen er bak Dør 1. Første rad er kolonnenavn, de neste er ulike spill
- Første kolonne - "Første valg" (A1): Sett første celle (A2) under kolonnenavn til et tilfeldig tall mellom 1 og 3. For Excel, =TILFELDIGMELLOM(1;3).
- Andre kolonne - "Fjernet dør" (B1): Sier hvilken dør som blir fjernet, basert på ditt valg og hvor bilen er. Hvis du velger Dør 2, fjernes Dør 3. Velger du Dør 3, fjernes Dør 2. Velger du Dør 1, fjernes enten Dør 2 eller Dør 3 (ingen forskjell).For Excel, B2 er =BRYTER(A2, 1,2, 2,3, 3,2).
- Tredje kolonne - "Bli" (C1). Sier oss om Bli-strategien ga en seier eller et tap. C2 blir =HVIS(A2=1, "Seier", "Tap").
- Fjerde kolonne - "Bytt" (D1). Sier oss om Bytt-strategien ga en seier eller et tap. D2 blir =HVIS(A2=1, "Tap", "Seier").
- Merk A2 til D2 (A2:D2), og dra det ned til rad 1 000 eller noe.
- Navngi celle G1 "Bli", H1 "Bytt", F2 "Seier" og F3 "Tap".
- Sett G2 til =ANTALL.HVIS(C:C, "Seier"), G3 til =ANTALL.HVIS(C:C, "Tap"), H2 til =ANTALL.HVIS(D:D, "Seier"), og H3 til =ANTALL.HVIS(D:D, "Tap"). Nå har du et sammendrag av seire og tap.
- Du kan konvertere dette til prosenter ved å legge til /(ANTALLA(C:C)-1) eller /(ANTALLA(D:D)-1) til alle formler.
- Lagre filen. Trykk CTRL+S og de tilfeldige tallene rekalkuleres. Andelen seire for hver strategy vil variere, men være nærme 1/3 og 2/3.
Sannsynlighet handler om hva du vet. Når noen som vet svaret, gjør et valg, får du informasjon, selv om det ikke ser slik ut.
