Hvorfor er arealet av en sirkel πr²?

Det er lett å se hvorfor arealet av et rektangel er høyde × bredde. Mindre opplagt er arealet av en sirkel, som er πr². For å forklare det trenger vi en pizza som deles i uendelig mange biter. Men først, tre begreper:

Forklaringen

Ser for deg en pizza. Du har mange venner, og deler den i mange biter. Dessverre fant vennene dine ut at det var ananas på den, og kom aldri. Du bryr deg ikke om dette. Eller mye annet, du har jo ananas på pizzaen. Så du gjennomfører et lite eksperiment.

Du tar den ene halvdelen av pizzaen og fletter den inn i den andre, med annenhver bit pekende opp og ned, som vist under. Jo flere biter, desto mer ligner formen et rektangel. Dra i glidebryteren og se hvordan bitene blir et rektangel.

Med uendelig mange biter blir det et perfekt rektangel, og arealet av et rektangel er enkelt:

• Høyden er avstanden fra midten til skorpen: r.
• Bredden er halve omkretsen: 2πr ÷ 2 = πr.

Når antall biter går mot uendelig, rettes de taggete kantene helt ut. Men allerede ved 16 eller 32 biter er det svært nær.

Hvilken pizza bør du kjøpe?

Dobler du radiusen, blir arealet fire ganger større, ikke dobbelt så stort. En rettferdig pris for en pizza med dobbel radius er derfor fire ganger prisen, ikke to. Eller? For veldig mange spiser ikke skorpen, eller verdsetter den veldig lite. Og skorpen er ofte like bred, uavhengig av pizzaens størrelse. La oss kalle skorpens bredde for c. Da er arealet av fyll-delen av pizzaen som følger:

La oss sammenligne to pizzaer. Pizza B er tilsynelatende 4 ganger så stor.

Formelen forteller oss to ting:

• Når skorpen c = 0, så er Pizza B sitt fyll 4 ganger så stor.
• Når skorpen c nærmer seg r, så nærmer Pizza B sitt fyll seg å være uendelig mange ganger så stor (fordi Pizza A er skorpe)

Sammenlign pizza A med radius 20 cm og pizza B med radius 40 cm, med 5 cm skorpe på begge:

Pizza B har 5,44 ganger så mye spiselig areal som pizza A, selv om radiusen bare er doblet. Jo større pizzaen er, desto mindre andel utgjør skorpen.