Gjennomsnitt, median og modus

Du trenger ikke å jobbe lenge med tall før du føler behov for å beskrive de store trekkene i tallene du ser. Gjennomsnitt og median er to slike mål.

Definisjonene

Se for deg at 9 personer skal på kino. De har med seg egne lommepenger til godteri: 50, 80, 150, 150, 220, 300, 350, 450 og 500 kroner. Til sammen har de med seg 2 250 kroner.

Gjennomsnitt er summen av alle verdiene delt på antall verdier. Her er det 2 250 / 9 = 250 kroner.

Median er den midterste verdien når tallene er sortert fra minst til størst. Her er medianen 220 kroner.

Modus er den verdien som forekommer oftest. Her er det 150 kroner.

Prøv selv

Her er kinogjengen igjen. Gi noen av dem mer penger og se hva som skjer med gjennomsnittet, medianen og modusen. Hvem havner i midten?

Når er modus nyttig?

Modus er mest nyttig for kategorier, for eksempel den vanligste skostørrelsen eller det mest solgte godteriet. Hvis har en skobutikk, og bare selger skostørrelsene 36, 37, 38, 46 og 48 så er det meningsløst å bare kjøpe inn sko i medianstørrelsen (str. 38), eller snitt-størrelsen (f.eks. str. 41). Her er modus det beste å se på.

Når er median og gjennomsnitt nyttig?

I andre sammenhenger står valget typisk mellom gjennomsnitt og median. La oss gå tilbake til kino-gjengen igjen. Se for deg at den med 500 kroner får vippset 4 500 kroner til. Da øker gjennomsnittet fra 250 til 750 kroner! Det nye gjennomsnittet er lite representativt for de 8 andre.

I offentlig statistikk, for eksempel for inntekt, er det ofte interessant å se på medianen. Utviklingen i medianen reflekterer ofte flertallet bedre enn gjennomsnittet, spesielt hvis det er store forskjeller i en gruppe. Samtidig har gjennomsnittet fordeler som medianen mangler.

Gjennomsnitt er likevel nyttig:

• Det bruker all informasjon. Alle verdiene teller. Medianen bryr seg bare om hvem som står i midten, og endrer seg ikke om den rikeste får 10 kroner eller 10 milliarder til.
• Det henger sammen med summen. Gjennomsnitt ganger antall er totalen. Vet du at snittet er 250 kroner og at 9 skal på kino, vet du at de har 2 250 kroner til sammen. Det er derfor BNP per innbygger og skatteinntekter regnes med snitt: Det er totalen som betaler regningen, ikke (bare) de midterste.
• Det kan slås sammen. Har to kinogrupper hvert sitt snitt, kan du regne ut snittet for alle, vektet med hvor mange som er i hver gruppe. Med medianer går ikke det.

Spørsmålet er altså ikke hvilket mål som er best, men hva du vil vite: hvordan det går med den typiske personen (median), eller hvor mye det er totalt (gjennomsnitt).

Forskjellige typer gjennomsnitt

Gjennomsnittet vi har brukt så langt, heter aritmetisk gjennomsnitt: Legg sammen og del på antallet.

Når tall ganges med hverandre i stedet for å legges sammen, gir det feil svar. Se for deg at du setter 1 000 kroner i aksjer. Første år stiger de 50 prosent, og andre år faller de 50 prosent.

• Det aritmetiske snittet av +50 % og −50 % er 0 %. Det høres ut som om du står på stedet hvil.
• Men 1 000 × 1,5 = 1 500, og 1 500 × 0,5 = 750. Du har tapt 250 kroner.

For vekst over tid bruker vi derfor geometrisk gjennomsnitt. Du ganger vekstfaktorene sammen og tar n-te rot:

Den gjennomsnittlige årlige veksten var altså rundt −13,4 %. Og 1 000 × 0,866 × 0,866 ≈ 750, akkurat det du endte med.

Det geometriske snittet er aldri større enn det aritmetiske, og jo mer tallene svinger, jo større blir forskjellen. Derfor gir det et for rosenrødt bilde å oppgi aritmetisk snittavkastning for aksjer, fond eller boligpriser over mange år.

Tommelfingerregel: Bruk aritmetisk snitt når tallene legges sammen, som kroner, personer og timer. Bruk geometrisk snitt når de ganges, som vekst, renter, avkastning og prisstigning over flere år.